เครื่องคำนวณการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

หมวดหมู่: สถิติ
- สิงหาคม 04, 2568
| |

คำนวณฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF), ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF), ค่าเฉลี่ย, ความแปรปรวน, และสถิติอื่น ๆ สำหรับการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์ λ (แลมบ์ดา).

การป้อนพารามิเตอร์

ตัวเลือกการคำนวณ

ตัวเลือกการแสดงผล

เกี่ยวกับการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ต่อเนื่องซึ่งอธิบายถึงเวลาระหว่างเหตุการณ์ในกระบวนการปัวซอง ซึ่งเป็นกระบวนการที่เหตุการณ์เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องและเป็นอิสระที่อัตราเฉลี่ยคงที่.

คุณสมบัติหลัก
  • โดเมน: x ∈ [0, ∞)
  • พารามิเตอร์: λ > 0 (พารามิเตอร์อัตรา) หรือ β > 0 (พารามิเตอร์สเกล, โดยที่ β = 1/λ)
  • ค่าเฉลี่ย: 1/λ
  • ความแปรปรวน: 1/λ²
  • มัธยฐาน: ln(2)/λ
  • โมด: 0
  • คุณสมบัติไม่มีความจำ: P(X > s + t | X > s) = P(X > t)
การประยุกต์ใช้งาน

การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลมักถูกใช้ในการสร้างแบบจำลอง:

  • เวลาระหว่างการมาถึงในกระบวนการปัวซอง
  • อายุการใช้งานของส่วนประกอบหรือระบบอิเล็กทรอนิกส์ (การวิเคราะห์ความเชื่อถือได้)
  • เวลาจนกว่าจะเกิดความล้มเหลวของอุปกรณ์
  • ระยะเวลาของการโทรศัพท์
  • เวลาบริการลูกค้า
  • กระบวนการการเสื่อมสภาพของสารกัมมันตรังสี
  • เวลาที่การเรียกร้องประกันภัยมาถึง
ความสัมพันธ์กับการแจกแจงอื่น ๆ
  • การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแบบแกมมาที่มีพารามิเตอร์รูปแบบ α = 1.
  • ถ้า X ~ Exp(λ), แล้ว Y = 2λX จะมีการแจกแจงแบบไค-สแควร์ที่มี 2 องศาอิสระ.
  • ค่าต่ำสุดของตัวแปรสุ่มเอ็กซ์โพเนนเชียลที่เป็นอิสระก็จะมีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเช่นกัน.
  • การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นอนาล็อกต่อเนื่องของการแจกแจงแบบเรขาคณิต.
คุณสมบัติไม่มีความจำ

การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ต่อเนื่องเพียงอย่างเดียวที่ไม่มีความจำ นั่นหมายความว่าถ้าวัตถุมีชีวิตอยู่เป็นเวลา t ความน่าจะเป็นที่มันจะมีชีวิตอยู่เป็นเวลาเพิ่มเติม s จะเท่ากับความน่าจะเป็นที่วัตถุใหม่จะมีชีวิตอยู่เป็นเวลา s.

ทางคณิตศาสตร์: P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลคืออะไร?

การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ต่อเนื่องซึ่งอธิบายถึงระยะเวลาระหว่างเหตุการณ์ในกระบวนการปัวซอง มันถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในการจำลองระยะเวลารอจนกว่าเหตุการณ์ถัดไปจะเกิดขึ้น โดยที่เหตุการณ์เกิดขึ้นอย่างอิสระที่อัตราเฉลี่ยที่คงที่

การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์เดียว:

  • \( \lambda \): พารามิเตอร์อัตรา แทนจำนวนเหตุการณ์ต่อหน่วยเวลา \( \lambda > 0 \).

ฟังก์ชันหลักของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลรวมถึง:

  • ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF): \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \) ซึ่งให้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในเวลาที่เฉพาะเจาะจง \( x \).
  • ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF): \( F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \) ซึ่งให้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจนถึงเวลา \( x \).

วัตถุประสงค์ของเครื่องคิดเลขการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

เครื่องคิดเลขนี้ช่วยให้คุณคำนวณค่า PDF และ CDF สำหรับพารามิเตอร์อัตราที่กำหนด (\( \lambda \)) และค่า (\( x \)) มันให้การคำนวณแบบทีละขั้นตอนเพื่อทำให้การเข้าใจและการแก้ปัญหาการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นเรื่องง่ายและเข้าใจได้

คุณสมบัติหลักของเครื่องคิดเลข

  • การคำนวณ PDF และ CDF: คำนวณค่าอัตราความหนาแน่นและการแจกแจงสะสมได้อย่างรวดเร็ว
  • คำอธิบายทีละขั้นตอน: ให้ขั้นตอนการคำนวณอย่างละเอียด เพื่อให้เกิดความชัดเจนและความเข้าใจ
  • อินเทอร์เฟซที่ใช้งานง่าย: การออกแบบที่เรียบง่ายและเข้าใจได้พร้อมฟิลด์การป้อนข้อมูลที่ใช้งานง่าย
  • ผลลัพธ์ทันที: รับผลลัพธ์ที่ถูกต้องและคำอธิบายทันทีหลังจากป้อนค่า
  • การจัดการข้อผิดพลาด: ตรวจสอบให้แน่ใจว่าข้อมูลที่ป้อนถูกต้องและให้ข้อเสนอแนะแก่การแก้ไข

วิธีการใช้เครื่องคิดเลขการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อคำนวณค่าการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล:

  1. ป้อนพารามิเตอร์อัตรา (\( \lambda \)): ให้พารามิเตอร์อัตราเป็นตัวเลขบวก (เช่น 2)
  2. ป้อนค่าของ \( x \): ป้อนตัวเลขที่ไม่เป็นลบซึ่งแทนเวลาหรือค่าที่สนใจ (เช่น 1.5)
  3. คลิกคำนวณ: กดปุ่ม คำนวณ เพื่อคำนวณค่า PDF และ CDF พร้อมคำอธิบายทีละขั้นตอน
  4. ดูผลลัพธ์: เครื่องคิดเลขจะแสดงค่าที่คำนวณได้และกระบวนการคำนวณอย่างละเอียด
  5. ล้างข้อมูลที่ป้อน: ใช้ปุ่ม ล้าง เพื่อรีเซ็ตข้อมูลที่ป้อนและทำการคำนวณใหม่

การใช้งานของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในหลายสาขา รวมถึง:

  • วิศวกรรมความเชื่อถือได้: เพื่อจำลองระยะเวลาจนกว่าจะเกิดความล้มเหลวของระบบหรือส่วนประกอบ
  • ทฤษฎีคิว: เพื่อคาดการณ์ระยะเวลารอในระบบบริการ (เช่น ศูนย์บริการลูกค้า คิวลูกค้า)
  • การวิเคราะห์เครือข่าย: เพื่อวิเคราะห์เวลาที่ข้อมูลแพ็กเก็ตมาถึง
  • การเงิน: เพื่อจำลองระยะเวลาจนกว่าจะเกิดการทำธุรกรรมหรือเหตุการณ์ถัดไป

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

  • พารามิเตอร์อัตรา (\( \lambda \)) คืออะไร?
    พารามิเตอร์อัตราแทนจำนวนเหตุการณ์เฉลี่ยต่อหน่วยเวลา มันต้องเป็นตัวเลขบวก
  • สามารถให้ \( x \) เป็นค่าลบได้หรือไม่?
    ไม่ได้ \( x \) ต้องเป็นค่าที่ไม่เป็นลบ เนื่องจากมันแทนเวลา หรือปริมาณที่เป็นบวก
  • ค่าของ PDF แทนอะไร?
    ค่าของ PDF ให้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในเวลาที่เฉพาะเจาะจง \( x \)
  • ค่าของ CDF แทนอะไร?
    ค่าของ CDF ให้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจนถึงเวลา \( x \)
  • จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฉันป้อนข้อมูลที่ไม่ถูกต้อง?
    เครื่องคิดเลขจะแสดงข้อความผิดพลาดเพื่อกระตุ้นให้คุณแก้ไขข้อมูลที่ป้อน

ทำไมต้องใช้เครื่องคิดเลขนี้?

เครื่องคิดเลขการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลช่วยประหยัดเวลาและลดข้อผิดพลาดในการคำนวณด้วยมือ มันเหมาะสำหรับนักเรียน วิศวกร และมืออาชีพที่วิเคราะห์เวลาหรืออัตราความล้มเหลว โดยการให้ผลลัพธ์แบบทีละขั้นตอน มันช่วยเพิ่มความเข้าใจและรับประกันความถูกต้องในการแก้ปัญหาทางสถิติ