เครื่องคิดเลขอนุกรมอนันต์

หมวดหมู่: ลำดับและอนุกรม
- มิถุนายน 07, 2568
| |

คำนวณการรวมอนันต์ ความซับซ้อนของผลรวมบางส่วน และวิเคราะห์อนุกรมทางคณิตศาสตร์ เครื่องคิดเลขนี้ช่วยให้นักเรียน นักคณิตศาสตร์ และวิศวกรเข้าใจพฤติกรรมของอนุกรม การทดสอบการรวม และการประมาณค่าต่างๆ สำหรับอนุกรมอนันต์

การกำหนดอนุกรม

ใช้ 'n' สำหรับตัวแปรดัชนี (รองรับ +, -, *, /, ^, sin, cos, ln, exp)
n₀
p/r
สำหรับ p-อนุกรม (p), อนุกรมเรขาคณิต (r) เป็นต้น

ตัวเลือกการวิเคราะห์

พจน์
สำหรับการคำนวณผลรวมบางส่วน
หลัก

ตัวเลือกการแสดงผล

ถึง
ช่วงสำหรับการแสดงผลผลรวมบางส่วน

การตั้งค่าขั้นสูง

ε
เกณฑ์สำหรับการตรวจจับการรวม

ทฤษฎีอนุกรมอนันต์

อนุกรมอนันต์คือผลรวมของพจน์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด การเข้าใจพฤติกรรมการรวมเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการประยุกต์ใช้ในแคลคูลัส ฟิสิกส์ วิศวกรรม และการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ประเภทของอนุกรม
  • อนุกรมเรขาคณิต: ∑ar^n = a/(1-r) สำหรับ |r| < 1
  • p-อนุกรม: ∑1/n^p รวมกันถ้า p > 1, แยกถ้า p ≤ 1
  • อนุกรมฮาร์มอนิก: ∑1/n แยก (กรณี p = 1)
  • อนุกรมสลับ: ∑(-1)^n·a_n ด้วยเกณฑ์การรวมพิเศษ
  • อนุกรมพลัง: ∑a_n(x-c)^n ด้วยรัศมีของการรวม
  • อนุกรมเทย์เลอร์/แมคลอรีน: การแทนฟังก์ชันเป็นอนุกรมพลัง
การทดสอบการรวม
  • การทดสอบอัตราส่วน: lim|a_{n+1}/a_n| = L. รวมกันถ้า L < 1, แยกถ้า L > 1
  • การทดสอบราก: lim|a_n|^{1/n} = L. รวมกันถ้า L < 1, แยกถ้า L > 1
  • การทดสอบเชิงปริพันธ์: เปรียบเทียบกับเชิงปริพันธ์ที่ไม่เหมาะสมของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง
  • การทดสอบการเปรียบเทียบ: เปรียบเทียบกับอนุกรมที่รู้จักว่ารวมกัน/แยก
  • การทดสอบการเปรียบเทียบขีดจำกัด: ใช้ขีดจำกัดของอัตราส่วนกับอนุกรมเปรียบเทียบ
  • การทดสอบอนุกรมสลับ: ถ้าพจน์ลดลงและเข้าใกล้ 0, อนุกรมจะรวมกัน
ค่าของอนุกรมที่สำคัญ
  • ปัญหาบาเซล: ∑1/n² = π²/6 ≈ 1.6449
  • รีมันน์เซต้า: ζ(s) = ∑1/n^s สำหรับค่าต่างๆ ของ s
  • เอ็กซ์โพเนนเชียล: e^x = ∑x^n/n! (รวมกันสำหรับทุก x)
  • อนุกรมไซน์: sin(x) = ∑(-1)^n·x^{2n+1}/(2n+1)!
  • อนุกรมโคไซน์: cos(x) = ∑(-1)^n·x^{2n}/(2n)!
  • ลอการิธมธรรมชาติ: ln(1+x) = ∑(-1)^{n+1}·x^n/n สำหรับ |x| < 1
การประยุกต์ใช้
  • การวิเคราะห์เชิงตัวเลข: การประมาณฟังก์ชันและเชิงปริพันธ์
  • ฟิสิกส์: ฟังก์ชันคลื่น กลศาสตร์ควอนตัม กลศาสตร์สถิติ
  • วิศวกรรม: การประมวลผลสัญญาณ ระบบควบคุม การวิเคราะห์ฟูริเยร์
  • เศรษฐศาสตร์: การคำนวณมูลค่าปัจจุบัน โมเดลการเติบโต
  • วิทยาการคอมพิวเตอร์: การวิเคราะห์อัลกอริธึม ฟังก์ชันการสร้าง
  • ความน่าจะเป็น: ฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์ ฟังก์ชันลักษณะ
พฤติกรรมการรวม
  • การรวมแบบสัมบูรณ์: ∑|a_n| รวมกัน ⟹ ∑a_n รวมกัน
  • การรวมแบบมีเงื่อนไข: ∑a_n รวมกันแต่ ∑|a_n| แยก
  • การรวมแบบสม่ำเสมอ: สำคัญสำหรับการดำเนินการทีละพจน์
  • อัตราการรวม: ความเร็วที่ผลรวมบางส่วนเข้าใกล้ขีดจำกัด
  • รัศมีของการรวม: โดเมนที่อนุกรมพลังรวมกัน

ข้อจำกัดความรับผิดชอบ: เครื่องคิดเลขนี้ให้การประมาณค่าตัวเลขและการวิเคราะห์ทางทฤษฎีของอนุกรมอนันต์ ผลลัพธ์อาจอยู่ภายใต้ข้อจำกัดด้านความแม่นยำในการคำนวณและอาจไม่สะท้อนค่าทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอน สำหรับการพิสูจน์ที่เข้มงวดและการวิเคราะห์อย่างละเอียด โปรดปรึกษาวรรณกรรมทางคณิตศาสตร์และตรวจสอบผลลัพธ์ด้วยตนเอง อนุกรมบางตัวอาจต้องใช้เทคนิคขั้นสูงที่เกินขอบเขตของเครื่องคิดเลขนี้