เครื่องคำนวณ SVD

หมวดหมู่: พีชคณิตเชิงเส้น
- พฤศจิกายน 19, 2568
| |

คำนวณการแยกค่าเอกลักษณ์ (SVD) ของเมทริกซ์ SVD แยกเมทริกซ์ออกเป็นสามส่วน: U, Σ, และ V* การแยกนี้มีการใช้งานมากมายในสถิติ การประมวลผลสัญญาณ การบีบอัดภาพ และอื่นๆ

การป้อนเมทริกซ์

ตัวเลือกการแสดงผล

เกี่ยวกับการแยกค่าเอกลักษณ์

การแยกค่าเอกลักษณ์ (SVD) เป็นเทคนิคการแยกที่แยกเมทริกซ์ A ออกเป็นสามเมทริกซ์: U, Σ, และ V* มีการใช้งานอย่างกว้างขวางในวิทยาศาสตร์ข้อมูล การประมวลผลสัญญาณ และพีชคณิตเชิงเส้น

นิยามทางคณิตศาสตร์

สำหรับเมทริกซ์ m×n A, SVD คือ:

A = UΣV*

โดยที่:

  • U เป็นเมทริกซ์ออร์โธโกนอล m×m (U*U = I)
  • Σ เป็นเมทริกซ์แนวทแยง m×n ที่มีค่าเอกลักษณ์ที่ไม่เป็นลบ
  • V* เป็นการถ่ายโอนเชิงซ้อนของเมทริกซ์ออร์โธโกนอล n×n V (V*V = I)
การใช้งานของ SVD
  • การลดมิติ: การวิเคราะห์องค์ประกอบหลัก (PCA)
  • การบีบอัดภาพ: ลดการจัดเก็บในขณะที่รักษาคุณภาพของภาพ
  • การวิเคราะห์ข้อมูล: การลดเสียงรบกวนและการดึงฟีเจอร์
  • ระบบแนะนำ: การกรองร่วมสำหรับการแนะนำ
  • การคำนวณพีโซอินเวอร์ส: การหาคำตอบสำหรับระบบที่มีสภาพไม่ดี
  • การประมวลผลสัญญาณ: การกรองและการลดเสียงรบกวน
คุณสมบัติของ SVD
  • ค่าเอกลักษณ์มีความเป็นเอกลักษณ์และเรียงตามลำดับจากมากไปน้อย
  • จำนวนค่าเอกลักษณ์ที่ไม่เป็นศูนย์เท่ากับอันดับของเมทริกซ์
  • หมายเลขเงื่อนไขคืออัตราส่วนของค่าเอกลักษณ์ที่ใหญ่ที่สุดต่อค่าที่เล็กที่สุด
  • SVD สามารถใช้ในการคำนวณพีโซอินเวอร์สผ่าน A⁺ = VΣ⁺U*
  • SVD มีความเสถียรทางตัวเลขสำหรับการคำนวณ

สูตรการแยกค่าเฉพาะ:

A = UΣV*

โดยที่:

  • U = เมทริกซ์ของเวกเตอร์เฉพาะด้านซ้าย
  • Σ = เมทริกซ์แนวทแยงของค่าเฉพาะ
  • V* = เมทริกซ์ทรานสโพสของเวกเตอร์เฉพาะด้านขวา

SVD Calculator คืออะไร?

เครื่องคิดเลขการแยกค่าเฉพาะ (SVD) เป็นเครื่องมือออนไลน์ที่แยกเมทริกซ์ใด ๆ ออกเป็นสามส่วนประกอบพื้นฐาน: U, Σ (Sigma) และ V* กระบวนการนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิตเชิงเส้นสำหรับการใช้งานต่าง ๆ เช่น การบีบอัดข้อมูล การกรองสัญญาณ และการแก้ไขระบบสมการ

ด้วยเครื่องคิดเลข SVD คุณสามารถวิเคราะห์โครงสร้างของเมทริกซ์ได้อย่างรวดเร็ว เข้าใจคุณสมบัติด้านมิติ และคำนวณค่าที่สำคัญเช่น หมายเลขเงื่อนไข, แร็งค์ และพีซโดอินเวิร์ส

ทำไมต้องใช้เครื่องคิดเลขนี้?

เครื่องมือนี้ช่วยให้คุณ:

  • แยกเมทริกซ์ออกเป็น U, Σ, และ V* เพื่อการวิเคราะห์ที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น
  • เข้าใจพฤติกรรมของเมทริกซ์ของคุณผ่านค่าเฉพาะ
  • สำรวจคุณสมบัติต่าง ๆ เช่น แร็งค์ของเมทริกซ์, หมายเลขเงื่อนไข, และนอร์มฟรอเบนีอุส
  • ตรวจสอบความถูกต้องของการแยก
  • คำนวณพีซโดอินเวิร์สของมอร์-เพนโรสได้ทันที

หากคุณกำลังทำงานกับข้อมูลภาพ สถิติ หรือการแก้ไขระบบเชิงเส้น เครื่องคิดเลขนี้จะให้การแยกที่คุณต้องการ มันเสริมเครื่องมืออื่น ๆ เช่น เครื่องคิดเลขการแยก LU, เครื่องคิดเลขพีซโดอินเวิร์ส, และ เครื่องคิดเลขการกลับเมทริกซ์ โดยมุ่งเน้นไปที่การวิเคราะห์ค่าเฉพาะโดยเฉพาะ

วิธีการใช้เครื่องคิดเลข SVD

ทำตามขั้นตอนง่าย ๆ เหล่านี้:

  1. เลือกจำนวนแถวและคอลัมน์สำหรับเมทริกซ์ของคุณ
  2. คลิก “สร้างเมทริกซ์” เพื่อสร้างฟิลด์ข้อมูล
  3. ป้อนค่าของเมทริกซ์ของคุณลงในฟิลด์
  4. เลือกตัวเลือกการแสดงผลเช่น ความแม่นยำทศนิยมและว่าจะแสดงคำอธิบายทีละขั้นตอนหรือไม่
  5. คลิก “คำนวณ SVD” เพื่อประมวลผลเมทริกซ์
  6. ตรวจสอบเมทริกซ์ U, Σ, และ V* ที่ได้ รวมถึงค่าที่ได้เช่น พีซโดอินเวิร์สและหมายเลขเงื่อนไข

คุณยังสามารถโหลดเมทริกซ์ตัวอย่างโดยใช้ปุ่ม “โหลดตัวอย่าง” เพื่อดูวิธีการทำงานได้ทันที

ประโยชน์ของการใช้ SVD

SVD ถูกใช้ในหลายสาขาและมีประโยชน์ที่เป็นรูปธรรม:

  • การบีบอัดข้อมูล: ลดขนาดข้อมูลโดยไม่สูญเสียคุณสมบัติที่สำคัญ
  • การลดเสียงรบกวน: กำจัดส่วนประกอบเล็กน้อยในสัญญาณหรือชุดข้อมูล
  • การเรียนรู้ของเครื่อง: ปรับปรุงประสิทธิภาพของอัลกอริธึมผ่านการลดมิติ
  • การแก้ไขเมทริกซ์: คำนวณพีซโดอินเวิร์สเมื่อไม่มีการกลับปกติ
  • การประมวลผลภาพ: บีบอัดและสร้างภาพใหม่ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

เครื่องมือนี้มีประโยชน์โดยเฉพาะเมื่อใช้ร่วมกับเครื่องมือเมทริกซ์เช่น เครื่องคิดเลขการแยก QR, เครื่องคิดเลขการกำจัดเกาส์-จอร์แดน, และ เครื่องคิดเลขการทำให้เป็นแนวทแยงของเมทริกซ์

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

  • ฉันสามารถป้อนเมทริกซ์ขนาดไหนได้บ้าง?
    คุณสามารถป้อนเมทริกซ์ตั้งแต่ 1×1 ถึง 10×10
  • ถ้าเมทริกซ์ของฉันมีค่ามาก ๆ เล็ก ๆ ล่ะ?
    เครื่องคิดเลขจะเน้นค่าที่ใกล้ศูนย์เพื่อช่วยให้คุณมุ่งเน้นไปที่ผลลัพธ์ที่สำคัญ
  • ฉันสามารถดูวิธีการคำนวณ SVD ได้ไหม?
    ได้! เปิดใช้งานตัวเลือก “แสดงคำอธิบาย” เพื่อดูการแยกทีละขั้นตอน
  • เครื่องมือนี้มีประโยชน์สำหรับการเรียนรู้หรือไม่?
    แน่นอน การแยกภาพและขั้นตอนการคำนวณทำให้มันเป็นเครื่องมือการเรียนรู้ที่ยอดเยี่ยมสำหรับนักเรียนและผู้สอน
  • นี่แตกต่างจากเครื่องมือเมทริกซ์อื่น ๆ อย่างไร?
    ในขณะที่ เครื่องคิดเลขการกลับเมทริกซ์ และ การแยก LU มุ่งเน้นไปที่การแก้ไขระบบเชิงเส้นโดยตรง SVD ให้ข้อมูลเชิงลึกมากขึ้นเกี่ยวกับโครงสร้างและเสถียรภาพของเมทริกซ์

เครื่องมือที่เกี่ยวข้องที่คุณอาจพบว่ามีประโยชน์