เครื่องคิดเลขกฎซิมป์สัน

หมวดหมู่: แคลคูลัส

- กรกฎาคม 03, 2568

| |

คำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนเชิงตัวเลขโดยใช้กฎของซิมป์สัน เครื่องคิดเลขนี้ประมาณค่าอินทิกรัลของฟังก์ชันในช่วงที่กำหนดโดยการปรับพาราโบลาที่เหมาะสมผ่านจุดที่มีระยะห่างเท่ากัน

พารามิเตอร์การอินทิเกรต

ฟังก์ชันที่ต้องการอินทิเกรต:

ใช้ x เป็นตัวแปร ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์: sin, cos, tan, log, sqrt, ฯลฯ

ขอบล่าง (a):

ขอบบน (b):

จำนวนช่วง (n):

ต้องเป็นเลขคู่สำหรับกฎของซิมป์สัน

ตัวเลือกการแสดงผล

แสดงกราฟฟังก์ชัน

แสดงพื้นที่ประมาณ

ทำความเข้าใจกฎของซิมป์สัน

กฎของซิมป์สันเป็นวิธีการประมาณเชิงตัวเลขสำหรับอินทิกรัลที่แน่นอน มันประมาณฟังก์ชันโดยใช้พหุนามกำลังสอง ซึ่งให้ความแม่นยำที่ดีกว่าวิธีที่ง่ายกว่าเช่นกฎของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สูตร

\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

โดยที่:

h = (b - a) / n คือความกว้างของแต่ละช่วงย่อย
n คือจำนวนช่วงย่อย (ต้องเป็นเลขคู่)
x_i = a + i·h คือจุดที่มีระยะห่างเท่าๆ กัน

ข้อผิดพลาด

กฎของซิมป์สันมีข้อผิดพลาดที่มีลักษณะ O(h⁵) ซึ่งหมายความว่าข้อผิดพลาดมีสัดส่วนกับ h⁴ โดยเฉพาะ:

\text{Error} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

โดยที่ f⁽⁴⁾(ξ) คืออนุพันธ์อันดับสี่ของ f ที่จุดบางจุด ξ ระหว่าง a และ b.

การเปรียบเทียบกับวิธีอื่น

กฎจุดกึ่งกลาง: ข้อผิดพลาดคือ O(h³), มีความแม่นยำน้อยกว่ากฎของซิมป์สัน
กฎของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า: ข้อผิดพลาดคือ O(h³), มีความแม่นยำน้อยกว่ากฎของซิมป์สัน
กฎของซิมป์สัน 3/8: มีความแม่นยำใกล้เคียงกับกฎของซิมป์สัน
การบูรณาการแบบเกาส์: มีความแม่นยำมากขึ้นสำหรับบางประเภทของฟังก์ชัน

คำชี้แจง: เครื่องคิดเลขนี้ให้การประมาณเชิงตัวเลขที่อาจมีข้อผิดพลาด โดยเฉพาะสำหรับฟังก์ชันที่มีจุดวิกฤติหรือการสั่นสะเทือนอย่างรวดเร็ว ควรตรวจสอบผลลัพธ์ที่สำคัญด้วยวิธีอื่นหรือวิธีการวิเคราะห์เมื่อเป็นไปได้.

เครื่องคิดเลขกฎซิมป์สันคืออะไร?

เครื่องคิดเลขกฎซิมป์สันเป็นเครื่องมือเชิงโต้ตอบที่ใช้ในการประมาณค่าของปริพันธ์ที่แน่นอน แทนที่จะต้องแก้ปัญหาปริพันธ์ที่ซับซ้อนด้วยมือ เครื่องคิดเลขนี้ใช้วิธีการเชิงตัวเลขที่เชื่อถือได้ในการประมาณพื้นที่ใต้กราฟ ซึ่งเรียกว่ากฎซิมป์สัน มันมีประโยชน์โดยเฉพาะสำหรับฟังก์ชันที่ยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะทำการอินทิเกรตเชิงวิเคราะห์

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

วิธีนี้จะแบ่งช่วงออกเป็นจำนวนส่วนที่เท่ากันและปรับพาราโบล่าผ่านจุดต่าง ๆ บนกราฟของฟังก์ชัน มันให้ความแม่นยำที่ดีกว่ากฎของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหรือกฎจุดกึ่งกลาง

ทำไมต้องใช้มัน?

ไม่ว่าคุณจะเป็นนักเรียน, ครู, วิศวกร, หรือผู้เรียนที่สนใจ เครื่องคิดเลขกฎซิมป์สันช่วยให้คุณ:

ประมาณปริพันธ์ที่แน่นอนได้อย่างรวดเร็ว
มองเห็นวิธีการที่พื้นที่ใต้กราฟถูกประมาณ
เข้าใจผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงจำนวนช่วง
ทำการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดและดูพฤติกรรมการรวมตัว

มันยังเสริมเครื่องมืออื่น ๆ เช่น เครื่องคิดเลขปริพันธ์ สำหรับการแก้ปัญหาปริพันธ์ที่แน่นอนหรือไม่แน่นอน และ เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ย้อนกลับ สำหรับการหาค่าของอนุพันธ์ย้อนกลับ หากคุณกำลังทำงานกับฟังก์ชันหลายตัวแปร ให้ตรวจสอบ เครื่องคิดเลขอนุพันธ์บางส่วน เพื่อคำนวณอนุพันธ์บางส่วนหรือวิเคราะห์การอนุพันธ์หลายตัวแปร

วิธีการใช้เครื่องคิดเลข

ทำตามขั้นตอนง่าย ๆ เหล่านี้เพื่อให้ได้การประมาณค่าปริพันธ์ที่แน่นอนของคุณอย่างแม่นยำ:

ป้อนฟังก์ชันที่คุณต้องการจะอินทิเกรตในกล่องป้อนข้อมูล (ใช้ x เป็นตัวแปร).
ตั้งค่าขอบเขตล่างและขอบเขตบนสำหรับช่วงการอินทิเกรต.
เลือกจำนวนช่วง (ต้องเป็นจำนวนคู่).
เลือกเปิดใช้งานการวาดกราฟฟังก์ชันและภาพการประมาณ.
คลิก "คำนวณปริพันธ์" เพื่อดูผลลัพธ์, กราฟ, และการแยกส่วน.

คุณสามารถรีเซ็ตเครื่องคิดเลขได้ตลอดเวลาด้วยปุ่ม "รีเซ็ต".

กรณีการใช้งานทั่วไป

ใช้เครื่องคิดเลขกฎซิมป์สันเพื่อ:

ประมาณพื้นที่ใต้กราฟเมื่อปริพันธ์ที่แน่นอนยากที่จะคำนวณ
เปรียบเทียบผลลัพธ์เชิงตัวเลขกับวิธีแก้ปัญหาที่แน่นอนจาก เครื่องแก้ปริพันธ์
วิเคราะห์การรวมตัวโดยการเพิ่มช่วง
ได้รับข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับพฤติกรรมข้อผิดพลาดในจำนวนช่วงที่แตกต่างกัน

มันมีประโยชน์โดยเฉพาะสำหรับการตรวจสอบงานหรือเสริมผลลัพธ์จากเครื่องมือเช่น เครื่องคิดเลขอนุพันธ์อันดับสอง หรือ เครื่องคิดเลขอนุพันธ์เชิงทิศทาง ในการวิเคราะห์หลายตัวแปร

คำถามที่พบบ่อย

ถาม: ฟังก์ชันประเภทใดที่ฉันสามารถป้อนได้?
ฟังก์ชันใด ๆ ที่ใช้ x เป็นตัวแปร นิยมใช้รวมถึงพหุนาม, ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ฟังก์ชันเลขยกกำลัง, และลอการิธึม ตัวอย่างเช่น: x^2 + sin(x).

ถาม: ทำไมจำนวนช่วงต้องเป็นจำนวนคู่?
กฎซิมป์สันอิงจากการปรับพาราโบล่าผ่านคู่ของช่วง จำนวนช่วงที่เป็นเลขคี่จะทำให้การจับคู่นี้ขาดหายไป

ถาม: วิธีนี้มีความแม่นยำแค่ไหน?
กฎซิมป์สันมีความแม่นยำสูงสำหรับฟังก์ชันที่เรียบและจะดีขึ้นเมื่อมีจำนวนช่วงมากขึ้น เครื่องคิดเลขยังแสดงข้อมูลข้อผิดพลาดและการรวมตัว

ถาม: ถ้าฟังก์ชันของฉันไม่กำหนดที่บางจุดล่ะ?
หลีกเลี่ยงฟังก์ชันที่มีจุดที่ไม่สามารถกำหนดได้หรือการไม่ต่อเนื่องภายในช่วง สิ่งเหล่านี้อาจทำให้ผลลัพธ์ไม่ถูกต้องหรือเกิดข้อผิดพลาดในการประเมิน

ความคิดสุดท้าย

เครื่องคิดเลขนี้เป็นเพื่อนที่มีประโยชน์สำหรับการศึกษาแคลคูลัสและการแก้ปัญหาในโลกจริงที่เกี่ยวข้องกับการอินทิเกรต มันเป็นส่วนหนึ่งของชุดเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่กว้างขึ้น เช่น เครื่องคิดเลขอนุพันธ์, เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ย้อนกลับ, และ เครื่องคิดเลขลิมิต ที่ช่วยให้การเรียนรู้และการประยุกต์ใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงง่ายขึ้น