เครื่องคำนวณการกระจาย

หมวดหมู่: แคลคูลัส
- พฤศจิกายน 12, 2568
| |

คำนวณการเบี่ยงเบนของสนามเวกเตอร์ การเบี่ยงเบนวัดอัตราที่ "ความหนาแน่น" ออกจากพื้นที่ที่กำหนดและเป็นแนวคิดหลักในแคลคูลัสเวกเตอร์

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

ข้อมูลสนามเวกเตอร์

ตัวเลือกการแสดงผล

เกี่ยวกับการเบี่ยงเบน

การเบี่ยงเบนเป็นปริมาณสเกลาร์ที่วัดแนวโน้มของสนามเวกเตอร์ที่จะ "ไหล" ออก จากหรือเข้าหาจุดหนึ่ง มันถูกแทนด้วย ∇·F (del dot F) หรือ div F.

นิยามทางคณิตศาสตร์:

สำหรับสนามเวกเตอร์ F = (F₁, F₂, F₃) ในพิกัดคาร์ทีเซียน 3D การเบี่ยงเบนถูกกำหนดว่า:

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z
การตีความทางกายภาพ:

การเบี่ยงเบนวัดการไหลสุทธิของสนามออกจากปริมาตรเล็กๆ รอบจุดหนึ่ง ที่จุดที่กำหนด:

  • การเบี่ยงเบนเชิงบวก: สนามกำลังไหลออก (แหล่ง)
  • การเบี่ยงเบนเชิงลบ: สนามกำลังไหลเข้า (จุดรับ)
  • การเบี่ยงเบนเป็นศูนย์: สนามไม่มีการไหลออกหรือเข้า (ไม่สามารถบีบอัดได้)
การเบี่ยงเบนในระบบพิกัดต่างๆ:

พิกัดคาร์ทีเซียน (x, y, z):

∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

พิกัดทรงกระบอก (r, θ, z):

∇·F = (1/r) · ∂(r·Fr)/∂r + (1/r) · ∂Fθ/∂θ + ∂Fz/∂z

พิกัดทรงกลม (ρ, θ, φ):

∇·F = (1/ρ²) · ∂(ρ²·Fρ)/∂ρ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂(sin(φ)·Fθ)/∂θ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂Fφ/∂φ
การประยุกต์ใช้:
  • อิเล็กโทรแมกเนติกส์: กฎของเกาส์เชื่อมโยงการเบี่ยงเบนของสนามไฟฟ้ากับความหนาแน่นของประจุ
  • พลศาสตร์ของของไหล: การเบี่ยงเบนของสนามความเร็วบ่งชี้ถึงความสามารถในการบีบอัดของของไหล
  • การถ่ายเทความร้อน: การเบี่ยงเบนของการไหลความร้อนอธิบายแหล่งหรือจุดรับความร้อน
  • กลศาสตร์ควอนตัม: การเบี่ยงเบนของความหนาแน่นของกระแสเกี่ยวข้องกับการอนุรักษ์ประจุ

เครื่องคำนวณการเบี่ยงเบน: คำอธิบายและคู่มือการใช้งาน

เครื่องคำนวณการเบี่ยงเบน (Divergence Calculator) เป็นเครื่องมือเชิงโต้ตอบที่ออกแบบมาเพื่อคำนวณการเบี่ยงเบนของสนามเวกเตอร์สามมิติ มันให้วิธีที่เข้าใจง่ายในการคำนวณและแสดงภาพการเบี่ยงเบนของสนามเวกเตอร์ ( \mathbf{F}(x, y, z) ) โดยมีทั้งการแสดงผลเชิงสัญลักษณ์ของการเบี่ยงเบนและการประเมินที่จุดเฉพาะ นอกจากนี้ เครื่องมือนี้ยังสร้างการแสดงภาพกราฟิกของสนามเวกเตอร์เพื่อช่วยให้ผู้ใช้เข้าใจพฤติกรรมของมันได้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

การเบี่ยงเบนคืออะไร?

การเบี่ยงเบน เป็นปริมาณเชิงสเกลาร์ที่วัดอัตราที่สนามเวกเตอร์กระจายออกหรือรวมตัวกันที่จุดใดจุดหนึ่ง ในเชิงคณิตศาสตร์ การเบี่ยงเบนของสนามเวกเตอร์ ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) จะถูกกำหนดโดย:

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

  • หากการเบี่ยงเบนเป็นบวก สนามเวกเตอร์จะ กระจายออก ที่จุดนั้น
  • หากการเบี่ยงเบนเป็นลบ สนามเวกเตอร์จะ รวมตัวกัน ที่จุดนั้น
  • หากการเบี่ยงเบนเป็นศูนย์ สนามจะถูกกล่าวว่าเป็น โซลีนอยด์ ที่จุดนั้น

เครื่องคำนวณนี้ให้การเบี่ยงเบนเชิงสัญลักษณ์และตัวเลือกในการประเมินเชิงตัวเลขที่จุดเฉพาะ

คุณสมบัติของเครื่องคำนวณการเบี่ยงเบน

  • การเบี่ยงเบนเชิงสัญลักษณ์: คำนวณอนุพันธ์บางส่วนของส่วนประกอบสนามเวกเตอร์โดยอัตโนมัติและสร้างสมการการเบี่ยงเบน
  • การประเมินจุด: ประเมินการเบี่ยงเบนเชิงตัวเลขที่จุดเฉพาะ ( (x, y, z) )
  • การแสดงภาพกราฟิก: แสดงภาพสามมิติของสนามเวกเตอร์โดยใช้ความสามารถในการสร้างกราฟสามมิติแบบโต้ตอบของ Plotly
  • ตัวอย่างแบบดรอปดาวน์: โหลดตัวอย่างสนามเวกเตอร์ที่กำหนดไว้ล่วงหน้าได้อย่างรวดเร็วเพื่อการสำรวจ
  • การจัดการข้อผิดพลาด: รับประกันว่าข้อมูลนำเข้าที่ไม่ถูกต้องหรือไม่สมบูรณ์จะได้รับการจัดการอย่างเหมาะสม

วิธีการใช้เครื่องคำนวณการเบี่ยงเบน

ทำตามขั้นตอนง่าย ๆ เหล่านี้เพื่อใช้เครื่องคำนวณอย่างมีประสิทธิภาพ:

  1. ป้อนสนามเวกเตอร์:
  2. ป้อนส่วนประกอบ ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ), และ ( R(x, y, z) ) ของสนามเวกเตอร์ลงในกล่องข้อมูลที่เกี่ยวข้อง

  3. ตัวอย่างเช่น:

    • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
    • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
    • ( R(x, y, z) = e^z )

  4. เลือกตัวอย่าง:

  5. ใช้ เมนูดรอปดาวน์ เพื่อโหลดตัวอย่างสนามเวกเตอร์ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า

  6. ระบุจุดการประเมิน (ไม่บังคับ):

  7. หากคุณต้องการประเมินการเบี่ยงเบนที่จุดเฉพาะ ให้ป้อนค่าของ ( x ), ( y ), และ ( z ) ในฟิลด์ที่เกี่ยวข้อง

  8. คลิก "คำนวณ":

  9. เครื่องคำนวณจะ:

    • คำนวณการเบี่ยงเบนเชิงสัญลักษณ์
    • ประเมินการเบี่ยงเบนที่จุดที่ระบุ (หากมีการระบุ)
    • แสดงการอธิบายขั้นตอนการคำนวณ
    • สร้างการแสดงภาพสามมิติของสนามเวกเตอร์

  10. ล้างข้อมูลนำเข้า:

  11. ใช้ปุ่ม "ล้าง" เพื่อรีเซ็ตเครื่องคำนวณ

ตัวอย่างการทำงาน

ตัวอย่างสนามเวกเตอร์:

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

  1. ป้อนส่วนประกอบ:
  2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
  3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

  4. ( R(x, y, z) = e^z )

  5. คลิก "คำนวณ" เครื่องคำนวณจะ:

  6. คำนวณอนุพันธ์บางส่วน:
    • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
    • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
    • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
  7. รวมกันเพื่อหาค่า: [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

  8. หากจุดการประเมิน ( (x=1, y=1, z=0) ) ถูกระบุ ผลลัพธ์จะถูกประเมินเป็น: [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

  9. แสดงภาพสนามเวกเตอร์สามมิติที่สร้างขึ้นบนกราฟ

คำถามที่พบบ่อย

1. รูปแบบข้อมูลนำเข้าสำหรับส่วนประกอบสนามเวกเตอร์ที่รองรับคืออะไร?

เครื่องคำนวณรองรับฟังก์ชันในแง่ของ ( x ), ( y ), และ ( z ) ตัวอย่างเช่น: - ฟังก์ชันพหุนาม: ( x^2, y^2 + z ) - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ( \sin(xy), \cos(z) ) - ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล: ( e^z, x \cdot e^y )

2. จะเกิดอะไรขึ้นหากฉันไม่ระบุจุดการประเมิน?

หากไม่มีการระบุจุดการประเมิน เครื่องคำนวณจะแสดงเฉพาะสมการการเบี่ยงเบนเชิงสัญลักษณ์เท่านั้น

3. ฉันสามารถใช้เครื่องคำนวณนี้สำหรับสนามเวกเตอร์ 2D ได้หรือไม่?

ใช่ เพียงแค่ปล่อยให้ส่วนประกอบ ( R(x, y, z) ) ว่างหรือกำหนดให้เป็นศูนย์

4. การแสดงภาพสนามเวกเตอร์สามมิติถูกสร้างขึ้นอย่างไร?

เครื่องคำนวณใช้ Plotly เพื่อสร้างกราฟสนามเวกเตอร์สามมิติแบบโต้ตอบ แต่ละลูกศรแสดงถึงทิศทางและขนาดของสนามที่จุดใดจุดหนึ่ง

5. หากข้อมูลนำเข้าของฉันมีข้อผิดพลาดจะทำอย่างไร?

เครื่องคำนวณจะตรวจสอบข้อผิดพลาดเช่นส่วนประกอบที่หายไปหรือสมการที่ไม่ถูกต้อง ข้อความแสดงข้อผิดพลาดที่ชัดเจนจะช่วยแนะนำคุณในการแก้ไขปัญหา

สรุป

เครื่องคำนวณการเบี่ยงเบน (Divergence Calculator) ช่วยให้กระบวนการวิเคราะห์สนามเวกเตอร์ง่ายขึ้นโดยการทำให้การคำนวณการเบี่ยงเบนเป็นอัตโนมัติและให้การแสดงภาพที่ชัดเจน ไม่ว่าคุณจะเป็นนักเรียน อาจารย์ หรือมืออาชีพ เครื่องมือนี้เหมาะสำหรับการเข้าใจพฤติกรรมของสนามเวกเตอร์ในพื้นที่สามมิติ เริ่มสำรวจตอนนี้เพื่อปลดล็อกศักยภาพทั้งหมดของเครื่องคำนวณที่ทรงพลังนี้!