เครื่องคำนวณการเชิงเส้น

หมวดหมู่: แคลคูลัส
- ตุลาคม 26, 2568
| |

คำนวณการประมาณเชิงเส้นของฟังก์ชันที่จุดเฉพาะ ฟังก์ชันนี้จะหาสายสัมผัสกับเส้นโค้งและใช้เป็นการประมาณท้องถิ่นของฟังก์ชัน

ข้อมูลฟังก์ชัน

กรอกฟังก์ชันในรูปแบบของ x
ค่า x ที่จะคำนวณการประมาณเชิงเส้น
เลือกตัวแปรอิสระ
จุดในการประเมินการประมาณเชิงเส้น

ตัวเลือกการแสดงผล

ตัวเลือกขั้นสูง

จำนวนของเทอมสำหรับขอบเขตข้อผิดพลาด (อนุกรมเทย์เลอร์)

ความเข้าใจการประมาณเชิงเส้น

การประมาณเชิงเส้นเป็นเทคนิคที่ใช้ในการประมาณฟังก์ชันใกล้จุดเฉพาะโดยใช้ฟังก์ชันเชิงเส้น (เส้นตรง) การประมาณเชิงเส้นนี้เป็นสายสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุดที่กำหนด

การจัดรูปแบบทางคณิตศาสตร์

สำหรับฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x = a การประมาณเชิงเส้น L(x) จะถูกกำหนดโดย:

L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)

โดยที่:

  • f(a) คือค่าฟังก์ชันที่จุด a
  • f'(a) คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด a
  • (x - a) คือระยะห่างจากจุดของการประมาณเชิงเส้น
ทำไมการประมาณเชิงเส้นถึงได้ผล

การประมาณเชิงเส้นอิงจากสองเทอมแรกของการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันรอบจุด มันทำงานได้ดีที่สุดเมื่อ x ใกล้กับ a เนื่องจากข้อผิดพลาดจะเพิ่มขึ้นเมื่อคุณเคลื่อนที่ออกห่างจากจุดของการประมาณเชิงเส้น

การประมาณข้อผิดพลาด

ข้อผิดพลาดในการประมาณเชิงเส้นสามารถประมาณได้โดยใช้เทอมที่เหลือจากทฤษฎีของเทย์เลอร์:

ข้อผิดพลาด = f(x) - L(x) = f''(ξ)(x - a)²/2

โดยที่ ξ คือค่าบางอย่างระหว่าง a และ x

การประยุกต์ใช้
  • การประมาณ: ทำให้ฟังก์ชันที่ซับซ้อนง่ายขึ้นสำหรับการคำนวณที่ง่ายขึ้น
  • วิธีของนิวตัน: ค้นหารากของสมการแบบวนซ้ำ
  • สมการเชิงอนุพันธ์: การประมาณเชิงเส้นของระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นใกล้จุดสมดุล
  • การวิเคราะห์ข้อผิดพลาด: การประมาณข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขในการคำนวณ
  • ฟิสิกส์: การประมาณความสัมพันธ์ที่ซับซ้อนเพื่อการสร้างแบบจำลองที่ง่ายขึ้น

คำชี้แจง: เครื่องคิดเลขนี้ให้การประมาณเชิงเส้นตามหลักการของแคลคูลัส ความแม่นยำของการประมาณขึ้นอยู่กับระยะห่างของจุดการประเมินจากจุดการประมาณเชิงเส้น สำหรับฟังก์ชันที่ไม่เป็นเชิงเส้นมาก การประมาณอาจมีข้อผิดพลาดที่สำคัญเมื่อประเมินห่างจากจุดการประมาณเชิงเส้น

เครื่องคิดเลขการเชิงเส้นคืออะไร?

เครื่องคิดเลขการเชิงเส้นเป็นเครื่องมือที่ง่ายแต่ทรงพลังสำหรับการประมาณค่าของฟังก์ชันใกล้จุดที่กำหนดโดยใช้เส้นตรง กระบวนการนี้เรียกว่า การเชิงเส้น ซึ่งอิงจากเส้นสัมผัสของฟังก์ชันที่จุดเฉพาะและช่วยในการประมาณค่าฟังก์ชันโดยไม่ต้องคำนวณที่ซับซ้อน

มันทำงานได้ดีที่สุดเมื่อค่าที่ป้อนเข้าใกล้จุดที่ฟังก์ชันถูกเชิงเส้น กระบวนการนี้มักใช้ในแคลคูลัส วิศวกรรม และการวิเคราะห์ข้อมูลเพื่อทำให้การคำนวณที่ยากง่ายขึ้น

สูตรการเชิงเส้น

L(x) = f(a) + f′(a)(x − a)

โดยที่:

  • f(a) คือค่าของฟังก์ชันที่จุด a
  • f′(a) คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด a
  • (x − a) คือระยะห่างจากจุดที่เลือก

วิธีการใช้เครื่องคิดเลข

การใช้เครื่องคิดเลขการเชิงเส้นนั้นง่ายมาก เพียงทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

  • ป้อนฟังก์ชันของคุณ ในรูปแบบของตัวแปร (เช่น sin(x), x^2, e^x).
  • เลือกจุด ที่คุณต้องการทำการเชิงเส้น.
  • เลือกตัวแปร (เช่น x, t, θ).
  • (ไม่บังคับ) ป้อนค่าที่คุณต้องการประเมินการประมาณ.
  • คลิก "คำนวณการเชิงเส้น" เพื่อรับผลลัพธ์.

คุณยังสามารถเลือกแสดงกราฟและดูการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดที่เปรียบเทียบการประมาณกับฟังก์ชันจริง

ทำไมต้องใช้เครื่องมือนี้?

เครื่องคิดเลขนี้มีประโยชน์สำหรับการประมาณค่าฟังก์ชันอย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องคำนวณอนุพันธ์หรืออินทิกรัลที่มีลำดับสูง นี่คือการใช้งานทั่วไปบางประการ:

  • การประมาณค่า ของฟังก์ชันเช่นสมการตรีโกณมิติหรือเอ็กซ์โพเนนเชียลใกล้จุดเฉพาะ.
  • การมองเห็น เส้นสัมผัสและวิธีการเปรียบเทียบกับเส้นโค้งต้นฉบับ.
  • การวิเคราะห์ข้อผิดพลาด เพื่อเข้าใจว่าการประมาณนั้นดีเพียงใด.

มันยังเชื่อมโยงกับหัวข้ออื่น ๆ เช่น:

  • ตัวแก้ปัญหาอนุพันธ์ เช่น เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ หรือ เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ที่สอง.
  • เครื่องมือวิเคราะห์ฟังก์ชัน เช่น เครื่องคิดเลขเส้นสัมผัส และ เครื่องคิดเลขการประมาณเชิงพีชคณิต.
  • การเรียนรู้แคลคูลัส ผ่านเครื่องมือที่มองเห็นได้และโต้ตอบได้เพื่อเข้าใจ อนุพันธ์บางส่วน และ อนุกรมเทย์เลอร์.

คำถามที่พบบ่อย

การเชิงเส้นใช้ทำอะไร?

การเชิงเส้นช่วยในการประมาณค่าของฟังก์ชันใกล้จุดเฉพาะโดยใช้เส้นตรง มันมีประโยชน์โดยเฉพาะเมื่อประเมินฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือทำการคำนวณอย่างรวดเร็ว

เครื่องคิดเลขรองรับค่าคงที่พิเศษเช่น π หรือ e หรือไม่?

ใช่ คุณสามารถใช้สมการเช่น pi/4 หรือ e^x โดยตรงในช่องป้อนข้อมูล

เครื่องมือนี้สามารถแสดงข้อผิดพลาดในการประมาณได้หรือไม่?

แน่นอน เมื่อเปิดใช้งาน เครื่องคิดเลขจะให้การวิเคราะห์ข้อผิดพลาดอย่างละเอียดตามอนุพันธ์ที่สองและยังรวมถึงตัวเลือกสำหรับการประมาณข้อผิดพลาดของลากรองจ์

นี่เหมือนกับการใช้เครื่องคิดเลขอนุพันธ์หรือไม่?

ไม่เชิง แม้ว่ามันจะอิงจากอนุพันธ์แรกเหมือนกับเครื่องคิดเลขอนุพันธ์ แต่เครื่องมือนี้ไปอีกขั้นโดยใช้มันเพื่อ สร้างการประมาณเชิงเส้นเต็มรูปแบบ และยังมีการตอบกลับกราฟิกและข้อผิดพลาด

เครื่องคิดเลขนี้เหมาะสำหรับนักเรียนเท่านั้นหรือไม่?

ไม่ มันมีค่าใช้สำหรับทุกคนที่ทำงานกับฟังก์ชัน — ตั้งแต่นักเรียนมัธยมปลายและมหาวิทยาลัยไปจนถึงวิศวกร นักฟิสิกส์ และนักวิทยาศาสตร์ข้อมูล

เครื่องมือที่เกี่ยวข้องที่คุณอาจพบว่ามีประโยชน์

  • เครื่องคิดเลขอนุพันธ์บางส่วน: สำหรับฟังก์ชันหลายตัวแปรและขั้นตอนการอนุพันธ์บางส่วน.
  • เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ย้อนกลับ: เพื่อค้นหาอนุพันธ์ย้อนกลับและแก้ปัญหาอินทิกรัลออนไลน์.
  • เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ที่สอง: สำหรับการวิเคราะห์ความโค้งและจุดเปลี่ยนที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น.
  • เครื่องคิดเลขเส้นสัมผัส: คำนวณความชันและสมการของเส้นสัมผัสที่จุดใดก็ได้อย่างรวดเร็ว.
  • เครื่องคิดเลขการประมาณเชิงพีชคณิต: สำหรับการประมาณที่ดีกว่าด้วยพหุนามลำดับที่สอง.

ลองสำรวจเครื่องมือเหล่านี้เพื่อสนับสนุนการศึกษาในแคลคูลัส ฟิสิกส์ และการประยุกต์ใช้ทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ