เครื่องคำนวณอนุพันธ์เชิงทิศทาง

หมวดหมู่: แคลคูลัส
- พฤศจิกายน 09, 2568
| |

คำนวณอนุพันธ์เชิงทิศทางของฟังก์ชันที่จุดในทิศทางของเวกเตอร์ที่กำหนด ป้อนฟังก์ชันหลายตัวแปรและระบุจุดและเวกเตอร์ทิศทางเพื่อคำนวณว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงในทิศทางนั้นอย่างไร

การป้อนฟังก์ชัน

จุดและทิศทาง

ตัวเลือกการแสดงผล

เกี่ยวกับอนุพันธ์เชิงทิศทาง

อนุพันธ์เชิงทิศทางแสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในทิศทางเฉพาะ มันเป็นการทั่วไปแนวคิดของอนุพันธ์บางส่วนซึ่งวัดการเปลี่ยนแปลงเฉพาะตามแกนพิกัดเท่านั้น

แนวคิดหลัก
  • เกรเดียนต์ (∇f): เวกเตอร์ที่ประกอบด้วยอนุพันธ์บางส่วนทั้งหมดของฟังก์ชัน ชี้ไปในทิศทางที่สูงที่สุด
  • เวกเตอร์หน่วย (û): เวอร์ชันที่ทำให้เป็นปกติของเวกเตอร์ทิศทางที่มีขนาด 1
  • สูตรอนุพันธ์เชิงทิศทาง: Duf(x,y) = ∇f(x,y) · û, โดยที่ · แทนการคูณจุด
  • การตีความ: วัดว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วเมื่อเคลื่อนที่จากจุดในทิศทางที่กำหนด
การประยุกต์ใช้
  • การเพิ่มประสิทธิภาพ: ค้นหาทิศทางที่มีการเพิ่มขึ้น/ลดลงมากที่สุด
  • ฟิสิกส์: คำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงในทิศทางเฉพาะ (การไหลของความร้อน, สนามไฟฟ้า)
  • กราฟิกคอมพิวเตอร์: การวิเคราะห์และการเรนเดอร์พื้นผิว
  • การเรียนรู้ของเครื่อง: อัลกอริธึมการเพิ่มประสิทธิภาพที่ใช้เกรเดียนต์

อนุพันธ์ตามทิศทางคืออะไร?

อนุพันธ์ตามทิศทาง วัดว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อคุณเคลื่อนที่ในทิศทางเฉพาะจากจุดที่กำหนด มันขยายแนวคิดของอนุพันธ์บางส่วนโดยพิจารณาทิศทางเวกเตอร์แทนที่จะมุ่งเน้นเฉพาะตัวแปรแต่ละตัวเช่น x หรือ y

  • ในแง่ง่ายๆ มันคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน f(x, y, z) ที่จุดเฉพาะในทิศทางเฉพาะ
  • มันถูกแสดงทางคณิตศาสตร์ว่า:

D_v f = ∇f ⋅ v̂

ที่นี่: - ∇f คือเวกเตอร์เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน ซึ่งประกอบด้วยอนุพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรทั้งหมด - v̂ คือเวกเตอร์ทิศทางที่มีความยาวหน่วย (normalized)

  • ผลลัพธ์ของอนุพันธ์ตามทิศทางคือหมายเลขเดียวที่บอกเราว่าฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้น ลดลง หรือคงที่ในทิศทางที่กำหนด

คุณสมบัติหลักของเครื่องคิดเลขอนุพันธ์ตามทิศทาง

  • การป้อนข้อมูลแบบไดนามิก: ป้อนฟังก์ชันหลายตัวแปร จุดในการประเมิน และเวกเตอร์ทิศทาง
  • คำอธิบายแบบทีละขั้นตอน: เครื่องคิดเลขให้ขั้นตอนที่ละเอียด แสดงวิธีการคำนวณเกรเดียนต์และอนุพันธ์ตามทิศทาง
  • การแสดงผลกราฟิก: กราฟแสดงพฤติกรรมของฟังก์ชันตามเวกเตอร์ทิศทาง
  • ตัวอย่างในตัว: ทดสอบเครื่องมือได้อย่างรวดเร็วด้วยตัวอย่างที่ให้มาสำหรับฟังก์ชันทั่วไป

วิธีการใช้เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ตามทิศทาง

ช่องป้อนข้อมูล:

  1. ป้อนฟังก์ชัน: ระบุฟังก์ชันหลายตัวแปร เช่น x^2 + y^2 + z^2 หรือ sin(x) * cos(y)
  2. จุดในการประเมิน: ให้จุดที่อนุพันธ์จะถูกประเมิน (เช่น 1,1,1)
  3. เวกเตอร์ทิศทาง: ป้อนเวกเตอร์ที่ต้องการคำนวณอนุพันธ์ (เช่น 1,2,3)

ตัวอย่างในเมนูดรอปดาวน์:

  • เลือกตัวอย่างที่กำหนดไว้ล่วงหน้าเพื่อเติมข้อมูลในช่องอัตโนมัติ:
  • f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 ที่ (1, 1, 1) ในทิศทาง v = (1, 1, 1)
  • f(x, y) = sin(x) * cos(y) ที่ (0, 0) ในทิศทาง v = (1, 1)
  • f(x, y) = e^(x + y) ที่ (1, 2) ในทิศทาง v = (0, 1)

ปุ่ม:

  • คำนวณ: ทำการคำนวณและแสดงผลลัพธ์ ขั้นตอน และกราฟ
  • ล้าง: รีเซ็ตช่องป้อนข้อมูลทั้งหมดและผลลัพธ์

ตัวอย่างการทำงาน: f(x, y) = sin(x) * cos(y)

การป้อนข้อมูล:

  • ฟังก์ชัน: sin(x) * cos(y)
  • จุด: (0, 0)
  • เวกเตอร์ทิศทาง: (1, 1)

การคำนวณ:

  1. คำนวณเวกเตอร์เกรเดียนต์:
  2. ∂f/∂x = cos(x) * cos(y)

  3. ∂f/∂y = -sin(x) * sin(y)

  4. ประเมินที่ (0, 0):

  5. ∂f/∂x(0, 0) = 1

  6. ∂f/∂y(0, 0) = 0

  7. ทำให้เวกเตอร์ทิศทาง (1, 1) เป็นหน่วย:

  8. เวกเตอร์หน่วย: v̂ = (1/√2, 1/√2)

  9. คำนวณอนุพันธ์ตามทิศทาง: D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2

ผลลัพธ์:

  • อนุพันธ์ตามทิศทาง: 1/√2

การแสดงผล:

  • กราฟแสดงพฤติกรรมของฟังก์ชันตามเวกเตอร์ทิศทางจากจุดที่กำหนด

ประโยชน์ของการใช้เครื่องคิดเลข

  • ประสิทธิภาพ: ทำให้การอนุพันธ์และการประเมินผลด้วยมือที่น่าเบื่อเป็นไปโดยอัตโนมัติ
  • ความชัดเจน: อธิบายกระบวนการทีละขั้นตอน เหมาะสำหรับการเรียนรู้หรือการตรวจสอบ
  • ความหลากหลาย: รองรับฟังก์ชันที่มีสองหรือสามตัวแปรและคำนวณอนุพันธ์ในทิศทางใดก็ได้

เมื่อใดควรใช้เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ตามทิศทาง

  • คณิตศาสตร์และฟิสิกส์: วิเคราะห์เกรเดียนต์และอัตราการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันหลายตัวแปร
  • การเรียนรู้ของเครื่องและ AI: ประเมินพฤติกรรมของฟังก์ชันต้นทุนตามทิศทางของเกรเดียนต์
  • วิศวกรรมและการเพิ่มประสิทธิภาพ: ประเมินการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันที่อยู่ภายใต้ข้อจำกัดหรือทิศทางเฉพาะ

ผลลัพธ์กราฟิก

  • กราฟถูกสร้างขึ้นเพื่อแสดงพฤติกรรมของฟังก์ชันตามเวกเตอร์ทิศทาง
  • แกน x แทน t ระยะทางตามเวกเตอร์ทิศทาง
  • แกน y แทน f(t) ค่าฟังก์ชันตามระยะทางนั้น