เครื่องคิดเลขปริพันธ์สามเท่า

หมวดหมู่: แคลคูลัส

- สิงหาคม 07, 2568

| |

คำนวณและแสดงภาพสามเท่าของอินทรีย์ในพื้นที่ 3 มิติ ตัวคำนวณนี้ช่วยในการตั้งค่าขอบเขตการรวม การแสดงภาพพื้นที่ และการคำนวณผลลัพธ์

การตั้งค่าอินทรีย์

ระบบพิกัด:

พิกัดคาร์ทีเซียน (x,y,z)

พิกัดทรงกระบอก (r,θ,z)

พิกัดทรงกลม (ρ,θ,φ)

ฟังก์ชันอินทรีย์:

ใช้ x, y, z สำหรับพิกัดคาร์ทีเซียน; r, theta, z สำหรับพิกัดทรงกระบอก; rho, theta, phi สำหรับพิกัดทรงกลม

ขอบเขตการรวม (พิกัดคาร์ทีเซียน)

ถึง

พื้นที่ปัจจุบัน:

ครึ่งวงกลมด้านบนที่มีรัศมี 1 อยู่ที่จุดศูนย์กลาง

ตัวเลือก

แสดงวิธีการทีละขั้นตอน

แสดงการแสดงภาพ 3 มิติ

คำนวณผลลัพธ์เชิงตัวเลข

แทนค่าต่างๆ ในขั้นตอน

พื้นที่ที่ตั้งไว้ล่วงหน้า

ผลลัพธ์ของอินทรีย์

∭(x² + y² + z²) dxdydz

การประเมินผลอินทรีย์สามเท่า

2π/5

ประมาณ 1.2566

วิธีการทีละขั้นตอน

การแสดงภาพพื้นที่ 3 มิติ

การแปลงระบบพิกัด

พิกัดคาร์ทีเซียน (x, y, z)

x = x

y = y

z = z

องค์ประกอบปริมาตร: dx dy dz

พิกัดทรงกระบอก (r, θ, z)

x = r cos(θ)

y = r sin(θ)

z = z

องค์ประกอบปริมาตร: r dr dθ dz

พิกัดทรงกลม (ρ, θ, φ)

x = ρ sin(φ) cos(θ)

y = ρ sin(φ) sin(θ)

z = ρ cos(φ)

องค์ประกอบปริมาตร: ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

อินทรีย์สามเท่าที่พบบ่อย

ปริมาตรของทรงกลมหน่วย

∭ dx dy dz = 4π/3

พื้นที่: x² + y² + z² ≤ 1

ปริมาตรของลูกบาศก์หน่วย

∭ dx dy dz = 1

พื้นที่: 0 ≤ x,y,z ≤ 1

ปริมาตรของทรงกระบอก

∭ dx dy dz = πh

พื้นที่: x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ h

โมเมนต์ของความเฉื่อย (ทรงกลม)

∭ (x² + y² + z²) dx dy dz = 4π/5

พื้นที่: x² + y² + z² ≤ 1

ความเข้าใจเกี่ยวกับอินทรีย์สามเท่า

อินทรีย์สามเท่าแสดงถึงการรวมปริมาตรของฟังก์ชันในพื้นที่สามมิติ มันขยายแนวคิดของอินทรีย์เดี่ยวและสองเท่าไปยังสามมิติ

คำจำกัดความ

อินทรีย์สามเท่าของฟังก์ชัน f(x,y,z) ในพื้นที่ V ในสามมิติถูกกำหนดว่า:

∭_V f(x,y,z) dV

นี่แสดงถึงผลรวมของค่าของ f ทั่วทั้งพื้นที่ V โดยมีน้ำหนักตามองค์ประกอบปริมาตร dV

ระบบพิกัดที่แตกต่างกัน

อินทรีย์สามเท่าสามารถประเมินในระบบพิกัดที่แตกต่างกัน:

พิกัดคาร์ทีเซียน: ∭ f(x,y,z) dx dy dz

พิกัดทรงกระบอก: ∭ f(r,θ,z) r dr dθ dz

พิกัดทรงกลม: ∭ f(ρ,θ,φ) ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

การเลือกระบบพิกัดควรตรงกับความสมมาตรของปัญหาเพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

การประยุกต์ใช้

อินทรีย์สามเท่ามีการประยุกต์ใช้ที่หลากหลาย รวมถึง:

การคำนวณปริมาตรของรูปทรง 3 มิติที่ซับซ้อน
การหาศูนย์กลางมวลของวัตถุแข็ง
การคำนวณโมเมนต์ของความเฉื่อยในฟิสิกส์
การกำหนดศักย์ไฟฟ้าหรือแรงโน้มถ่วงรวมในพื้นที่
การแก้ปัญหาในพลศาสตร์ของของไหลและอิเล็กโทรแมกเนติก

คำชี้แจง: เครื่องคำนวณนี้ให้การประมาณสำหรับวัตถุประสงค์ทางการศึกษา สำหรับการใช้งานที่สำคัญที่ต้องการความแม่นยำสูง ให้ตรวจสอบผลลัพธ์ด้วยซอฟต์แวร์ทางคณิตศาสตร์เฉพาะทางหรือปรึกษานักคณิตศาสตร์มืออาชีพ

เครื่องคิดเลขตรีอินทรีย์คืออะไร?

เครื่องคิดเลขตรีอินทรีย์เป็นเครื่องมือออนไลน์ที่ใช้งานง่ายซึ่งช่วยให้คุณประเมินและเข้าใจตรีอินทรีย์ — วิธีการคำนวณปริมาตรใต้พื้นผิวในพื้นที่สามมิติ ไม่ว่าคุณจะทำงานกับพิกัดคาร์ทีเซียน, พิกัดทรงกระบอก, หรือพิกัดทรงกลม เครื่องคิดเลขนี้ช่วยให้คุณกำหนดฟังก์ชันที่ต้องการอินทรีย์, ป้อนขอบเขตการอินทรีย์, และรับทั้งผลลัพธ์เชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลข พร้อมด้วยคำแนะนำทีละขั้นตอนและการแสดงผล 3D ที่เลือกได้

∭_V f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(x, y, z) dz dy dx

ทำไมต้องใช้เครื่องมือนี้?

เครื่องคิดเลขนี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียน, ผู้สอน, และมืออาชีพที่ต้องการ:

หาปริมาตรของพื้นที่ในพื้นที่ 3D
คำนวณอินทรีย์ในระบบพิกัดที่แตกต่างกัน
เข้าใจว่าขอบเขตการอินทรีย์สัมพันธ์กับรูปร่างทางเรขาคณิตอย่างไร
รับการอธิบายทีละขั้นตอนของกระบวนการอินทรีย์
มองเห็นพื้นที่ 3D เพื่อสร้างความเข้าใจในแคลคูลัสหลายตัวแปร

วิธีการใช้เครื่องคิดเลข

เลือกระบบพิกัด: เลือกระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียน (x, y, z), พิกัดทรงกระบอก (r, θ, z), หรือพิกัดทรงกลม (ρ, θ, φ) ตามรูปร่างของพื้นที่
ป้อนฟังก์ชันที่ต้องการอินทรีย์: ตัวอย่างเช่น x^2 + y^2 + z^2 ในพิกัดคาร์ทีเซียน
ระบุขอบเขตการอินทรีย์: ป้อนขีดล่างและขีดบนสำหรับแต่ละตัวแปร คุณยังสามารถใช้รูปร่างที่ตั้งไว้ล่วงหน้าเช่นทรงกลมหน่วยหรือทรงกระบอก
เลือกตัวเลือก: เปิดหรือปิดการแสดงผลลัพธ์ทีละขั้นตอน, ผลลัพธ์เชิงตัวเลข, หรือการแสดงผล
คลิก "คำนวณอินทรีย์": ดูผลลัพธ์, ดูการอธิบายแต่ละขั้นตอนของการอินทรีย์, และโต้ตอบกับการแสดงผล 3D หากเปิดใช้งาน

คุณสมบัติหลัก

รองรับพิกัดคาร์ทีเซียน, พิกัดทรงกระบอก, และพิกัดทรงกลม
ให้ผลลัพธ์เชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลข
รวมพื้นที่ที่ตั้งไว้ล่วงหน้าสำหรับรูปร่างทั่วไป
แสดงพื้นที่ใน 3D พร้อมการหมุนและการซูม
อธิบายแต่ละขั้นตอนของการอินทรีย์เพื่อการเรียนรู้

มีประโยชน์สำหรับการเรียนรู้หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

ตรีอินทรีย์มักปรากฏควบคู่ไปกับหัวข้อแคลคูลัสหลายตัวแปรอื่น ๆ เครื่องคิดเลขนี้เสริมเครื่องมือเช่น:

เครื่องคิดเลขอนุพันธ์บางส่วน: สำรวจว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงตามตัวแปรเฉพาะอย่างไรโดยใช้อนุพันธ์บางส่วนหรือเครื่องมือแก้ปัญหาอนุพันธ์หลายตัวแปร
เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ย้อนกลับ: คำนวณอินทรีย์ที่ไม่จำกัดและแก้ปัญหาการอินทรีย์ทีละขั้นตอน
เครื่องคิดเลขอินทรีย์: แก้ปัญหาอินทรีย์ที่แน่นอนหรือไม่แน่นอนสำหรับการฝึกฝนพื้นฐาน
เครื่องคิดเลขอนุพันธ์เชิงทิศทาง: เข้าใจเกรเดียนต์และวิธีที่ฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงในทิศทางเฉพาะ
เครื่องคิดเลขระนาบสัมผัส: หาระนาบที่ประมาณพื้นผิวได้ดีที่สุดที่จุดหนึ่งโดยใช้การวิเคราะห์เชิงอนุพันธ์

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

ตรีอินทรีย์ใช้ทำอะไร?

ตรีอินทรีย์มักใช้ในการคำนวณปริมาตร, มวล, และปริมาณอื่น ๆ ในพื้นที่สามมิติ มันเป็นแนวคิดสำคัญในฟิสิกส์, วิศวกรรม, และแคลคูลัสหลายตัวแปร

ควรเลือกระบบพิกัดไหน?

ใช้ระบบที่ตรงกับความสมมาตรของพื้นที่ของคุณ:

คาร์ทีเซียน – สำหรับลูกบาศก์, กล่อง, และของแข็งสี่เหลี่ยม
ทรงกระบอก – สำหรับทรงกระบอกและรูปร่างกลม
ทรงกลม – สำหรับทรงกลม, ครึ่งทรงกลม, และความสมมาตรแบบรัศมี

เครื่องคิดเลขนี้สามารถแสดงขั้นตอนหรือไม่?

ใช่ คุณสามารถเปิดใช้งานตัวเลือก “แสดงวิธีแก้ปัญหาทีละขั้นตอน” เพื่อดูการทำงานของอินทรีย์ในแต่ละขั้นตอน ซึ่งเหมาะสำหรับการเรียนรู้และตรวจสอบงานของคุณ

ถ้าฉันต้องการผลลัพธ์เชิงตัวเลขเท่านั้นล่ะ?

เปิดใช้งาน “คำนวณผลลัพธ์เชิงตัวเลข” เพื่อรับค่าทศนิยมโดยประมาณ ซึ่งมีประโยชน์เมื่อการอินทรีย์เชิงสัญลักษณ์ซับซ้อนเกินไป

เหมาะสำหรับการใช้ในห้องเรียนหรือไม่?

แน่นอน เครื่องคิดเลขนี้เหมาะสำหรับนักเรียนและผู้สอนในการฝึกปัญหา, ตรวจสอบการบ้าน, หรือใช้ในระหว่างการศึกษา

เครื่องคิดเลขนี้ช่วยอย่างไร

ไม่ว่าคุณจะพยายามคำนวณปริมาตร, วิเคราะห์ระบบทางกายภาพ, หรือเพิ่มความเข้าใจในแคลคูลัส เครื่องคิดเลขตรีอินทรีย์ให้ข้อมูลที่ชัดเจนและนำไปใช้ได้จริง มันเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับแคลคูลัสหลายตัวแปรที่ทำงานร่วมกับแนวคิดอื่น ๆ เช่น อนุพันธ์บางส่วน, เทคนิคการอินทรีย์, และการวิเคราะห์เวกเตอร์