เครื่องคำนวณวิธีซิมเพล็กซ์

หมวดหมู่: พีชคณิตและทั่วไป
- มิถุนายน 30, 2568
| |

แก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นโดยใช้วิธี Simplex เครื่องคิดเลขนี้ช่วยในการเพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ภายใต้ข้อจำกัด โดยค้นหาค่าที่เหมาะสมที่สุดสำหรับตัวแปรการตัดสินใจของคุณ

การตั้งค่าปัญหา

เกี่ยวกับการโปรแกรมเชิงเส้น

การโปรแกรมเชิงเส้นเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการเพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้นภายใต้ข้อจำกัดเชิงเส้น มีการใช้งานอย่างกว้างขวางในหลายสาขา รวมถึงเศรษฐศาสตร์ ธุรกิจ การผลิต และการขนส่ง

ส่วนประกอบหลักของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น
  • ตัวแปรการตัดสินใจ: ปริมาณที่คุณต้องการกำหนด.
  • ฟังก์ชันวัตถุประสงค์: สมการเชิงเส้นที่ต้องการเพิ่มสูงสุดหรือลดต่ำสุด.
  • ข้อจำกัด: อสมการหรือสมการเชิงเส้นที่จำกัดค่าของตัวแปรการตัดสินใจ.
  • เงื่อนไขไม่เป็นลบ: ตัวแปรการตัดสินใจมักจะต้องไม่เป็นลบ.
การใช้งานของการโปรแกรมเชิงเส้น
  • การวางแผนการผลิต: การกำหนดส่วนผสมของผลิตภัณฑ์ที่เหมาะสมที่สุดเพื่อเพิ่มผลกำไร.
  • การจัดสรรทรัพยากร: การจัดสรรทรัพยากรที่จำกัดอย่างมีประสิทธิภาพ.
  • การขนส่งและโลจิสติกส์: การออกแบบเส้นทางการขนส่งที่เหมาะสมที่สุด.
  • การเพิ่มประสิทธิภาพพอร์ตการลงทุน: การเลือกการลงทุนเพื่อเพิ่มผลตอบแทนหรือลดความเสี่ยง.
  • ปัญหาการผสม: การหาส่วนผสมที่เหมาะสมที่สุดของส่วนผสมหรือองค์ประกอบ.
ขั้นตอนในวิธี Simplex
  1. แปลงปัญหาเป็นรูปแบบมาตรฐานโดยการเพิ่มตัวแปร slack.
  2. สร้างตาราง Simplex เบื้องต้น.
  3. ตรวจสอบว่าโซลูชันปัจจุบันเป็นโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดหรือไม่ หากใช่ ให้หยุด.
  4. กำหนดตัวแปรที่เข้ามาและออกไป.
  5. ดำเนินการทำงานแถวพื้นฐานเพื่อให้ได้ตารางใหม่.
  6. ทำซ้ำขั้นตอน 3-5 จนกว่าจะพบโซลูชันที่เหมาะสมที่สุด.

วิธีการซิมเพล็กซ์คืออะไร?

วิธีการซิมเพล็กซ์เป็นอัลกอริธึมทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น มันเป็นเทคนิคที่ทรงพลังสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชันวัตถุเชิงเส้นภายใต้ชุดข้อจำกัดเชิงอสมการหรืออสมการเชิงเส้น วิธีนี้จะค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดโดยการวนซ้ำผ่านวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ที่จุดยอดของพื้นที่ที่เป็นไปได้จนกว่าจะได้ค่าที่ดีที่สุดสำหรับฟังก์ชันวัตถุ

ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมักเกิดขึ้นในสถานการณ์จริง เช่น การจัดสรรทรัพยากร การวางแผนการผลิต การขนส่ง และการเงิน วิธีการซิมเพล็กซ์ให้แนวทางที่เป็นระบบในการแก้ปัญหาเหล่านี้อย่างมีประสิทธิภาพ

คุณสมบัติของเครื่องคิดเลขวิธีการซิมเพล็กซ์

  • อนุญาตให้ผู้ใช้ป้อนฟังก์ชันวัตถุเชิงเส้น (เช่น 3x_1 + 4x_2).
  • รองรับข้อจำกัดเชิงอสมการและอสมการด้วยตัวเลือก ≤, =, และ ≥.
  • ช่วยให้ผู้ใช้เลือกระหว่างวัตถุประสงค์การเพิ่มสูงสุดและการลดต่ำสุด.
  • เสนอวิธีการแก้ปัญหาสองวิธี: วิธี Big M และวิธีสองเฟส.
  • แสดงการคำนวณทีละขั้นตอน รวมถึงตารางกลางและตารางสุดท้าย.
  • แสดงภาพพื้นที่ที่เป็นไปได้และวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดสำหรับปัญหา 2D.

วิธีการใช้เครื่องคิดเลขวิธีการซิมเพล็กซ์

  1. ป้อนฟังก์ชันวัตถุในช่องที่กำหนด (เช่น 3x_1 + 4x_2).
  2. ระบุว่าปัญหาเป็นปัญหาการเพิ่มสูงสุดหรือลดต่ำสุดโดยการเลือกหรือไม่เลือกช่อง "Maximize?"
  3. ป้อนข้อจำกัดในรูปแบบของอสมการเชิงเส้นหรืออสมการ สำหรับตัวอย่าง:
    • 2x_1 + x_2 ≤ 100
    • x_1 + 2x_2 = 80
    ใช้ปุ่ม "+ Add Constraint" เพื่อเพิ่มข้อจำกัดเพิ่มเติม.
  4. เลือกวิธีการแก้ปัญหา (วิธี Big M หรือวิธีสองเฟส) จากเมนูแบบเลื่อนลง.
  5. คลิก "Calculate" เพื่อแก้ปัญหา ผลลัพธ์ รวมถึงวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุด ตารางสุดท้าย และการแสดงภาพจะถูกแสดง.
  6. หากคุณต้องการรีเซ็ตช่องและเริ่มต้นใหม่ ให้คลิกปุ่ม "Clear".

ตัวอย่างการใช้งาน

วัตถุประสงค์: เพิ่มสูงสุด \(3x_1 + 4x_2\)

ข้อจำกัด:

  • \(2x_1 + x_2 ≤ 100\)
  • \(x_1 + 2x_2 ≤ 80\)
  • \(x_1, x_2 ≥ 0\)

ขั้นตอน:

  • แปลงอสมการเป็นอสมการโดยการเพิ่มตัวแปร slack \(s_1\) และ \(s_2\).
  • ตั้งค่าตารางซิมเพล็กซ์เริ่มต้นด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปรและข้อจำกัด.
  • แก้ปัญหาตารางอย่างวนซ้ำโดยการหมุนจนกว่าจะถึงวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุด.
  • แสดงผลลัพธ์สุดท้ายพร้อมกับค่าที่สูงสุดของฟังก์ชันวัตถุ.

ผลลัพธ์: \(x_1 = 20\), \(x_2 = 30\), และค่าที่สูงสุดคือ \(180\).

คำถามที่พบบ่อย

  • การโปรแกรมเชิงเส้นคืออะไร?
    การโปรแกรมเชิงเส้นเป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้เพื่อกำหนดผลลัพธ์ที่ดีที่สุด (เช่น กำไรสูงสุดหรือต้นทุนต่ำสุด) ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ความสัมพันธ์เป็นเชิงเส้น.
  • วิธี Big M และวิธีสองเฟสคืออะไร?
    วิธี Big M จะเพิ่มตัวแปรเทียมที่มีโทษสูง (แสดงด้วย \(M\)) เพื่อให้แน่ใจว่ามีความเป็นไปได้ ในขณะที่วิธีสองเฟสจะแก้ปัญหาในสองขั้นตอน: ก่อนหาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้และจากนั้นเพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชันวัตถุ.
  • ช่องทำเครื่องหมาย "maximize" ทำงานอย่างไร?
    การเลือกช่องนี้จะแก้ปัญหาเป็นปัญหาการเพิ่มสูงสุด หากไม่เลือก เครื่องคิดเลขจะถือว่าปัญหาเป็นปัญหาการลดต่ำสุด.
  • เครื่องคิดเลขสามารถจัดการกับปัญหาเชิงไม่เชิงเส้นได้หรือไม่?
    ไม่ได้ เครื่องคิดเลขถูกออกแบบมาเฉพาะสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นที่ทั้งฟังก์ชันวัตถุและข้อจำกัดเป็นเชิงเส้น.
  • จะเกิดอะไรขึ้นหากปัญหาไม่มีขอบเขต?
    หากวิธีแก้ปัญหาไม่มีขอบเขต เครื่องคิดเลขจะแสดงข้อความที่ระบุว่าปัญหาไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดที่มีขีดจำกัด.

ประโยชน์ของการใช้เครื่องคิดเลขวิธีการซิมเพล็กซ์

  • ประหยัดเวลาโดยการทำให้การคำนวณที่น่าเบื่อเป็นอัตโนมัติ.
  • ให้การอธิบายทีละขั้นตอน ทำให้เป็นเครื่องมือการเรียนรู้ที่มีค่าสำหรับนักเรียน.
  • แสดงภาพพื้นที่ที่เป็นไปได้และวิธีแก้ปัญหาเพื่อความเข้าใจที่ดียิ่งขึ้น.
  • จัดการกับปัญหาที่ซับซ้อนได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยข้อจำกัดและตัวแปรหลายตัว.